Question

প্রথম n সংখ্যক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি কত?

Answer 1

প্রথম n সংখ্যক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা হল ১, ৩, ৫, ৭, ...

প্রথম n সংখ্যক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টিকে নিম্নরূপে প্রকাশ করা যায়:

S_n = 1 + 3 + 5 + ... + n

এই সমষ্টিকে দুই ভাগে ভাগ করা যেতে পারে:

S_n = (1 + n) + (3 + (n - 1)) + (5 + (n - 2)) + ...

প্রতিটি জোড়ার সমষ্টি হল n + 1। তাই, প্রথম n সংখ্যক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি হল:

S_n = n(n + 1)

উদাহরণস্বরূপ, প্রথম 10 সংখ্যক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি হল:

S_10 = 10(10 + 1) = 100

অর্থাৎ, ১, ৩, ৫, ৭, ..., ১০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলির সমষ্টি হল ১০০।

অন্যভাবে, আমরা প্রথম n সংখ্যক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যাকে নিম্নরূপে প্রকাশ করতে পারি:

S_n = (2k + 1) + (2k + 3) + (2k + 5) + ... + (2k + 2n - 1)

এই সমষ্টিকে একটি গুণোত্তর ধারা হিসেবে প্রকাশ করা যেতে পারে:

S_n = (2k + 1)(1 + 2 + 2^2 + ... + 2^{n - 1})

গুণোত্তর ধারাটির সাধারণ অনুপাত হল 2। তাই, এই সমষ্টির মান হল:

S_n = (2k + 1) * 2^{n - 1} / (2 - 1)

S_n = (2k + 1) * 2^{n - 1}

যেখানে k হল n এর পূর্ববর্তী বিজোড় সংখ্যা।

উদাহরণস্বরূপ, প্রথম 10 সংখ্যক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার জন্য, k = 9। সুতরাং, প্রথম 10 সংখ্যক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি হল:

S_10 = (2 * 9 + 1) * 2^{10 - 1}

S_10 = 10 * 2^9

S_10 = 100

উভয় পদ্ধতিই একই উত্তর দেয়।